文 | 《中國(guó)科學(xué)報(bào)》記者 韓揚(yáng)眉 實(shí)習(xí)生 沈秋月
千呼萬(wàn)喚始出來。
11月8日，華裔數(shù)學(xué)家、加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授張益唐線上參加由北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院組織的學(xué)術(shù)報(bào)告，向北大師生及公眾解讀他的最新成果——11月4日，關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文《離散均值估計(jì)和朗道-西格爾零點(diǎn)》正式上傳至預(yù)印本網(wǎng)站arXiv。
(相關(guān)資料圖)
報(bào)告會(huì)正式開始之前，張益唐強(qiáng)調(diào)：“有人以為就是證明了黎曼假設(shè)是錯(cuò)的，我再說一遍，我可沒有這個(gè)本事。我只是在一定范圍里部分地解決黎曼假設(shè)應(yīng)該是對(duì)的。如果說我推翻了黎曼假設(shè)，估計(jì)沒什么人會(huì)相信。”
3天前，11月5日上午，張益唐就已向山東大學(xué)師生作了關(guān)于他最新成果的線上報(bào)告。張益唐提到，數(shù)論無論在任何時(shí)候都是很有發(fā)展前途的，“從來沒有人敢說在數(shù)學(xué)發(fā)展史上數(shù)論不重要，盡管有時(shí)候解析數(shù)論發(fā)展有些緩慢。”
據(jù)澎湃新聞報(bào)道，張益唐教授夫人孫雅玲也在當(dāng)天的報(bào)告會(huì)進(jìn)行了發(fā)言。她描述了張益唐對(duì)數(shù)學(xué)的“瘋狂”程度：每天早上七點(diǎn)多天蒙蒙亮，張益唐拄著拐杖、背著書包就走了，晚上走回家就七點(diǎn)了，“回到家，研究做不出來就一直嘟囔：‘零點(diǎn)、零點(diǎn)。’連我都知道零點(diǎn)了。我就想了個(gè)辦法，每天晚上把菜準(zhǔn)備好，讓他回來炒菜，把注意力分散一點(diǎn)”。
“部分解決黎曼假設(shè)應(yīng)該是對(duì)的”
大約40分鐘的學(xué)術(shù)報(bào)告，張益唐沒放PPT，只有兩塊白板，一只馬克筆，他用盡可能初等的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，盡可能緩慢的語(yǔ)速，邊寫公式邊講述，分享了他在朗道-西格爾零點(diǎn)問題上的思路和方法。
張益唐手寫公式（視頻會(huì)議截圖）
張益唐提到，他花了很長(zhǎng)時(shí)間去尋找問題的解決辦法。
“如同大海撈針一樣，我試了很多的方法，包括變分法、積分方程等，但關(guān)鍵一步都跨不過去。但是我后來發(fā)現(xiàn)，即使撈不到這根針，但是我已經(jīng)把海底環(huán)境摸索清楚了，也不需要非得一定撈到這根針。”
“這可能是一個(gè)新的突破。”張益唐說，能做到這一步，應(yīng)該說自己比較慶幸，雖然仍然使用傳統(tǒng)的解析數(shù)論的方法，但是利用到了極致，完全吃得很透了，才能夠找到這樣的關(guān)系。
純數(shù)學(xué)問題最美妙，也最艱難。正如張益唐所說，數(shù)論在任何時(shí)候都是有發(fā)展前途的，嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的風(fēng)格、鍥而不舍的精神非常重要，經(jīng)典方法是否有效，取決于你是否能把它做到極致。
張益唐講述新方法（視頻會(huì)議截圖）
只言片語(yǔ)難以言明朗道-西格爾零點(diǎn)問題的奧妙之處?！稊?shù)學(xué)文化》聯(lián)合主編、山東大學(xué)教授劉建亞向《中國(guó)科學(xué)報(bào)》解釋了朗道-西格爾零點(diǎn)問題的重要意義。
劉建亞表示，首先，這一問題是基本的，任何做解析數(shù)論的人都無法規(guī)避該問題。其次，這個(gè)問題是困難的，自20世紀(jì)30年代以來，這個(gè)問題的研究幾乎沒有實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。最后，也是最撼動(dòng)人心的是，張益唐對(duì)朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的證明一旦通過了驗(yàn)證，將改寫解析數(shù)論的教科書，解析數(shù)論的研究生教材要因此而改變。
究竟什么是“朗道—西格爾零點(diǎn)”問題？
根據(jù)山東大學(xué)新聞網(wǎng)介紹，素?cái)?shù)分布一直是數(shù)論研究的中心問題。解析數(shù)論是數(shù)論中以解析方法作為其研究工具的一個(gè)分支。黎曼zeta函數(shù)和狄利克雷L-函數(shù)的各種分析性質(zhì)是解析數(shù)論研究的重要理論基礎(chǔ)。正如黎曼zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布與素?cái)?shù)分布之間有著深刻密切的聯(lián)系，狄利克雷L-函數(shù)零點(diǎn)分布也在素?cái)?shù)理論中發(fā)揮廣泛而根本性的作用，與素?cái)?shù)分布的諸多核心問題有著深刻的內(nèi)蘊(yùn)聯(lián)系，如哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想等。
因?yàn)槿w模D的狄利克雷特征的適當(dāng)線性組合可以表示出模D算術(shù)級(jí)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)，所以狄利克雷L-函數(shù)與算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)分布問題密切相關(guān)。對(duì)于固定的狄利克雷特征，黎曼zeta函數(shù)的解析性質(zhì)大多容易推廣到相應(yīng)的狄利克雷L-函數(shù)上去。
比如當(dāng)特征是復(fù)特征時(shí)，其L-函數(shù)與黎曼zeta函數(shù)有類似的非零區(qū)域
但是，當(dāng)特征是實(shí)原特征時(shí)，在區(qū)間
內(nèi)至多可能存在一個(gè)一階實(shí)零點(diǎn)，這里c是一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?shù)。朗道（Landau）和西格爾（Siegel）等在這一問題作出過重要貢獻(xiàn)，這個(gè)可能存在的例外實(shí)零點(diǎn)被稱為朗道-西格爾零點(diǎn)。
如果我們相信廣義黎曼猜想，那么朗道-西格爾零點(diǎn)應(yīng)該不存在。朗道-西格爾零點(diǎn)的研究非常重要，是解決很多數(shù)論問題的瓶頸。
所謂的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想斷言，朗道-西格爾零點(diǎn)確實(shí)不存在。這是數(shù)論中長(zhǎng)期懸而未決的重要猜想。一旦證明了這一猜想，就可以取得很多新突破，簡(jiǎn)化和加強(qiáng)很多經(jīng)典數(shù)論結(jié)果。張益唐在最新預(yù)印本論文里證明了，模D的實(shí)原特征L-函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)沒有實(shí)零點(diǎn)，這里c是絕對(duì)實(shí)效正常數(shù)。如果把這里的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。2024雖然大于1，但在數(shù)學(xué)意義上，與1并沒有實(shí)質(zhì)性的差別。
“目前是（指數(shù)）做到了2024，我想經(jīng)過一番努力應(yīng)該還是可以做到幾百的，但是做到1還確實(shí)存在難度，現(xiàn)在達(dá)不到，這就回到原始形式的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想了。”張益唐說。
事實(shí)上，在2007年，張益唐在預(yù)印本網(wǎng)站提交了《論朗道-西格爾零點(diǎn)猜想》的論文，被認(rèn)為存在缺陷。而11月4日提交的論文《離散平均估計(jì)和朗道-西格爾零點(diǎn)》，張益唐突出了使用的研究方法和工具。
數(shù)學(xué)界將對(duì)這一成果進(jìn)行同行評(píng)審
111頁(yè)的論文，重要的數(shù)學(xué)難題，數(shù)學(xué)界為之震動(dòng)。
《中國(guó)科學(xué)報(bào)》記者獲悉，張益唐的導(dǎo)師潘承彪教授評(píng)論：“聽了益唐講的想法很清楚，這是一個(gè)重要的篩法新思想，有很大發(fā)展?jié)摿?，可?shí)現(xiàn)起來很難。”
張益唐獲悉后跟夫人說：聽了潘老師的肯定，勝于一萬(wàn)個(gè)人的贊揚(yáng)。
《中國(guó)科學(xué)報(bào)》記者還了解到，著名數(shù)論專家Andrew Granville回復(fù)郵件表示，“I understand his plan--I have also thought about t hese things but have thought it would be impossibl e to make anything like this work.But of course Zhang is very brilliant so who knows? I do not have time to read this now but hopefully so me clever young person will。”（我理解他的計(jì)劃---我也考慮過這些事情，但我認(rèn)為要把這樣的事情做好是不可能的。當(dāng)然，張是非常聰明的，所以誰(shuí)知道呢？我現(xiàn)在沒有時(shí)間看這個(gè)，但希望聰明的年輕人能夠看一看。）
張益唐這一論文在“MathOverflow”（一個(gè)面向?qū)I(yè)數(shù)學(xué)家的問答網(wǎng)站）得到了熱烈的討論：
“在之前的許多論文中，都假設(shè)Siegel零不存在，但它不需要那么強(qiáng)。張的論文并沒有排除西格爾零點(diǎn)存在的可能性，但是這種排除的范圍足以覆蓋之前很多論文要求的范圍。這使得許多先前的結(jié)果從假設(shè)結(jié)果變?yōu)榇_定性結(jié)果，從這個(gè)角度看，論文的意義是極其重大的。”
“假設(shè)這篇論文是正確的，一個(gè)直接的結(jié)果是，每一個(gè)源自西格爾定理的無效常數(shù)現(xiàn)在都是有效的。當(dāng)然，結(jié)果暗示的遠(yuǎn)不止這些，但如果結(jié)果正確，這已經(jīng)足夠使結(jié)果具有紀(jì)念意義了。”
“如果張的結(jié)果是正確的，將會(huì)有許多重要的后果。一個(gè)具體的結(jié)果是，它將高斯和歐拉時(shí)代最后一個(gè)開放的問題減少到有限的計(jì)算量，即每屬一類的二元二次型判別式分類。”
接下來，數(shù)學(xué)界將對(duì)這一成果進(jìn)行同行評(píng)審。據(jù)了解，張益唐2007年那篇論文的評(píng)審速度很快，只用了兩三周。鑒于其重大關(guān)注度，這次也應(yīng)該不會(huì)太慢。
在報(bào)告最后，張益唐說，這個(gè)研究成果只是在小范圍內(nèi)證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是對(duì)的，就是說這個(gè)零點(diǎn)確實(shí)是不存在的。“我現(xiàn)在的研究其實(shí)還存在繼續(xù)完善的地方，論文也需要做進(jìn)一步的深化。”
